Bình luận

Phản ứng thách thức 18


Chấm bi trên đường thẳng

Đây là một vấn đề Olympic toán học. Nếu các quả bóng 1999 có cùng màu, sự liên tiếp của các con số đang tăng hoặc giảm. Mỗi số chỉ xuất hiện một lần và có 1999 (vì vậy không có chính xác 3 số lặp lại một số lần lẻ (1 là số lẻ), do đó, có những quả bóng có cả hai màu.

Cho một sự phân phối của các quả bóng có ở một vị trí nhất định một quả bóng màu xanh Một và ở vị trí tiếp theo một quả bóng màu đỏ Rnếu có các viên bi màu xanh bên trái Mộtr bóng đỏ bên phải của bạn để có các + 1 quả bóng màu xanh bên trái của Rr - 1 quả bóng màu đỏ bên phải của bạn. Số được viết dưới đây Một é không = các + r và số được viết dưới R é các + 1 + r - 1 = n.

Nếu chúng ta thay đổi địa điểm MộtRvà chúng tôi đã không di chuyển bất kỳ quả bóng nào khác, trong bản phân phối mới có các viên bi màu xanh bên trái Rr - 1 quả bóng màu đỏ bên phải của bạn, trong khi bên trái của Mộtcác quả bóng màu xanh và bên phải của bạn r - 1 quả bóng màu đỏ. Các số được viết dưới đây RMộta + r - 1= n - 1 và a + r - 1 = không - 1. Các số được viết dưới các quả bóng khác không thay đổi.

Vì vậy, sau khi trao đổi, số không lặp lại ít hơn hai lần và số không - 1 lần lặp lại hai lần nữa. Các số lặp lại một số lần lẻ sẽ giống nhau trong cả hai cấu hình.

Do đó, chỉ cần nghiên cứu cấu hình trong đó tất cả các quả bóng màu đỏ là liên tiếp từ cái đầu tiên, và tất cả màu xanh là liên tiếp từ màu đỏ cuối cùng.

Gọi a, b lần lượt là số lượng của các quả bóng màu đỏ và màu xanh; sau đó a + b = 1999. Bên dưới quả bóng đầu tiên (nó có màu đỏ) là số a - 1, tiếp theo, a - 2, sau đó a - 3, v.v., cho đến khi nó có 0 trong quả bóng màu đỏ cuối cùng (tại vị trí a ). Vì vậy, dưới quả bóng màu xanh đầu tiên có 0, trong 1 giây và cứ thế, cho đến quả bóng cuối cùng, có b - 1 bên dưới.

Nếu a <b, các số 0, 1, 2, Mạnh, a - 1 xuất hiện hai lần (số lượng chẵn) và các số a, a + 1, a + 2, số, b - 1 xuất hiện một lần (số lượng lẻ) . Nếu có chính xác 3 số xuất hiện một số lần lẻ, thì đó là a, a + 1 và a + 2 = b - 1. Do đó, a + b = 2a + 3, do đó a = 998 và ba số lặp lại một số lần lẻ là 998, 999 và 1000.

Nếu a> b, ba số xuất hiện một số lần lẻ là b, b +1 và b + 2 = a - 1, trong đó a + b = 2b + 3 và ba số lại là 998, 999 và 1000 .

Quay lại tuyên bố